这是一种运动学的解释。当波加的阿波罗尼约前210建议放弃天球的共同中心时，已经提出一个观察曲线的精确模型。但是，仍然保持了球形的行星运动和等速球体。按照这种主张，行星在球面上作匀速转动本轮，它们的中心被设想成沿中心点地球的一个大圆圈均轮上作匀速运动。通过适当地调节速度和两个圆圈运动的直径并变动其运动方向，就有可能作出某种未预料的曲线，而这些在从开普勒到托勒密的天文学中都找到了部分应用。一个个模型的球体对称性因而得到了保留，即使它们不再有共同的中心而是有种种不同的中心时也是如此。

    下面的本轮均轮技巧显示出，通过适当地把匀速的圆周运动结合起来，可以得到多种表现的运动形式。这使得柏拉图派的哲学家的观点更容易理解：在现象的变化背后是永恒的不变的形式。在图21中，一个椭圆的轨道是由均轮的运动与本轮的运动结合而成的。图22显示了一种封闭的旋轮线。以这种方式，行星与地球之间的距离的变化也就被表示出来。原则上，甚至角度的形象也可以产生出来。当本轮的直径接近于均轮的直径时，就完全是一条直线了。如果人们改变一个行星的从东到西运动的速度，使之沿一个本轮从西到东运动，那么通过适当地组合一个本轮运动和一个均轮运动，还可以产生出三角形和长方形。

    如果人们使天体沿第二个本轮作圆周运动，这第二个本轮的中心点是沿第一个本轮运动的，那么就可以产生出多种椭圆轨道c反映对称曲线c周期曲线以及非周期轨道和反对称曲线。从纯粹的数学和运动学的观点看，柏拉图的“拯救现象”问题是完全解决了。因此，柏拉图式的以匀速圆周运动被阿波罗尼和托勒密进行了修订来减少复杂性的做法，原则上也许直至今日还对科学有影响。无论如何，它是不可能由曲线途径的现象学描述来否证的。特别是，从这种观点来看，无论是在所谓的哥白尼革命中将地球和太阳的位置对换，还是把圆周轨道改变成椭圆轨道的开普勒变化，都显得是次要的，因为他们的起始条件都可以追溯到与本轮均轮技巧符合的对圆周运动的组合。这就带来了两个问题：1这种断言是如何在数学上得到支持的2如果它得到这种支持，那么它为何在现代科学的曲线理论的应用中却没有起作用呢为了精确地对第一个问题作出一般性的回答，有必要返回到分析几何的现代结构。但是在历史上，哥白尼和开普勒也知道，他们所用的曲线例如椭圆也是可以通过本轮均轮技巧来重构的。

    首先，我们必须记住，平面上的点可以用复数x＝xiy＝reiθ来代表，相应的笛卡尔坐标是x，y或极坐标是r，θ。复数的加法相当于向量的加法。一个具有中心半径r和周期t的匀速圆周运动可以表示为

    z＝crei2πtta＝cre2πtta21

    式中该点的时刻是t，初相是a。现在假定点a按照方程z＝ft运动。让点b相对于a作圆周运动，它有半径r，周期t，初相a。b点的运动就由如下方程描述

    z＝ftrei2πtta22

    于是它就可能描述点b沿某个本轮的运动，其本轮中心绕a运动。新的本轮的加法在数学上是把一个新项reei2πtta加到z的表达式中。显然，rei2πtta＝reiae2πitt＝aeikt其中复数a0，k是实数。在逆行运动情形下，t或k分别为负。n个本轮叠加成的运动于是表示为方程

    z＝a1eik1ta2eik2taneiknt23

    让我们首先考虑平面z＝ft上的周期运动例如其周期为2π数学上，我们假定f在有限变化中是连续的。那么对于f可以表示为一个均匀收敛级数

    ft＝24

    n＝－8

    因此，容易从数学